刚度矩阵,自由振动的动力学方程

刚度矩阵，自由振动的动力学方程？

力学系统受初始扰动后，不再受其他激励而在其平衡位置附近的振动。由于介质阻尼和内耗

都看作是属于振动系统的，因此自由振动也包括有阻尼力的振动。最简单的自由振动就是简谐振动。其次是有阻尼力的单自由度

线性振动（见线性振动）。对于多自由度的自由振动，由于振动过程发生在系统稳定的平衡位置邻近，若取平衡位置为广义坐标的原点，这时系统的动能T和势能V可近似地表为：

式中q为广义坐标；m为质量；k为刚度。作用在系统上还有与阻尼力类似的耗散力。这种力学系统的运动方程为：

，（j=1，2，…，n） （1）

式中F为瑞利耗散函数，；L=T－V为拉格朗日函数。

对于保守系统，F=0，式（1）变成完整保守系统的拉格朗日方程

：

。（j=1，2，…，n）

应用上式于多自由度保守系统的自由线性振动，可得振动方程：

， （2）

式中

它们分别为质量矩阵、刚度矩阵和广义位移矢量。

这种保守系统的振动特色是由各广义位移作简谐振动而形成的。可设主振动为：q=usin（ωt+）， （3）

式中，称为主振型矢量；q和u都可看作列矩阵。将式（3）代入式（2）并约去sin（ωt+），得：

上式称为特征矢方程，而称为特征矩阵

。式（4）有非零解的条件为：

式（5）称为特征方程；从式（5）可解出n个（i=1，2，…，n）。将代入式（4）后，可解得对应于的n个。称固有频率（主频率），或特征值

；称固有振型（主振型）或特征矢量

。当K和M为n阶实对称矩阵

，且M正定

时，存在n个实特征值和相应的n个特征矢量，故式（2）的特解可写为：

式中和是待定常数，由初始条件决定。例如已知t=0时的和，则有：

从而可求出和（i=1，2，…，n）。

动刚度和静刚度的区别？

动刚度和静刚度是结构力学中的两个基本概念，两者的区别如下：

1. 定义不同：动刚度是指结构在振动和动态负载下的刚度，而静刚度是指结构在静态负载下的刚度。

2. 计算方法不同：静刚度可以通过结构在静态力作用下的形变与作用力之比来计算，通常是结构刚度矩阵的对角线元素之和；而动刚度则需要考虑到结构在动态条件下的惯性作用，并通过求解振动微分方程来计算。

3. 计量单位不同：静刚度的单位通常是牛顿/米（N/m）或千牛顿/毫米（kN/mm），而动刚度的单位则是牛顿秒/米（N·s/m）或千牛顿秒/毫米（kN·s/mm）。

4. 应用场景不同：静刚度通常用于计算结构在静态负载下的应力、位移和变形等问题，而动刚度则常用于计算结构在动力和振动下的响应、自然频率和振型等问题。

总之，动刚度和静刚度在定义、计算方法、计量单位和应用场景等方面都有一定的差异，但两者都是结构力学中的重要参数，对于建立结构模型和分析结构响应都是不可或缺的。

计算强度和验算刚度的区别？

计算强度和验算刚度是结构设计中两个重要的概念，它们的区别在于以下几个方面：

1. 定义不同

计算强度是指在某种特定的载荷作用下，结构或材料的承载能力是否足够，也就是结构或材料是否会发生破坏。验算刚度是指结构或材料在承受载荷作用下产生的变形是否符合要求，也就是结构或材料在弹性范围内的刚度是否满足设计要求。

2. 目的不同

计算强度的目的是为了确保结构在正常使用的过程中具有足够的承载能力，能够保证人员和物品的安全。验算刚度的目的则是为了保证结构的变形能够在允许的范围内，不能对结构的使用和美观造成不良影响。

3. 计算方法不同

计算强度的方法一般使用材料力学和结构力学的知识，通过应力、应变等参数计算出相应的承载能力。而验算刚度则需要分析结构的刚度矩阵，计算结构在不同载荷作用下的变形情况，从而判断结构的刚度是否满足要求。

综上，计算强度和验算刚度虽然都是结构设计中的重要概念，但是它们的定义、目的和计算方法都不同，需要根据具体的设计要求和实际情况进行选择和应用。

地层单元环的物理意义？

一般将刚度矩阵记为[D]，柔度矩阵为[C]，二者互为逆矩阵。

[C]矩阵中任一元素Cij的物理意义为：当微小单元体上仅作用有j方向的单位应力增加，而其他方向无应力增量时，i方向的应变增量分量就等于Cij。

[D]矩阵中任一元素Dij的物理意义为：要使微小单元体只在j方向发生单位应变，而其他方向不允许发生应变，则必须造成某种应力组合，在这种应力组合中，i方向应力分量为Dij。

对于各向异性材料，[D]和[C]都是非对称矩阵，从机理上来说是合理的，然而它给数学模型带来复杂性，也增加了有限元计算的困难。从工程实用的角度来考虑，往往忽略这种非对称性，而处理为对称矩阵。

comsol如何设置内部边界条件？

1.纽曼条件

纽曼条件是“载荷”，出现在方程组右侧。在 COMSOL Multiphysics 的方程视图 中，这类边界条件显示为弱贡献。纽曼条件纯粹是方程组右侧附加的贡献，因此可以包含以下变量的任何函数：时间、坐标或参数值。此载荷的数学描述可以是

很明显，移动载荷不可能有域边界，甚至不可能存在一个始终适合载荷分布的网格。

我们可以在该表达式中直接输入载荷分布本身。因为有两处会用到径向坐标变量 之所以将其定义成变量是一个好方法。移动热源的完整输入如下图所示。

描述移动热源的局部径向坐标相对于当前中心的变量。

输入热通量。

2.狄氏条件

当给定狄氏条件时，因变量就指定了，所以无须对其求解。我们可以从问题中删除这一类自由度方程。因此狄氏条件会改变刚度矩阵的结构。在 COMSOL Multiphysics 的方程视图 中，这类条件显示为约束。假定要将移动点的温度指定为刚好 450 K，这或许有点刻意，但是能表现出纽曼条件和狄氏条件之间的一个重要区别。假如要添加一个温度 节点并输入类似表达式（ if(r < R,450[K],0)），这意味着将热点不会覆盖的那部分边界的温度设定为绝对零度。不过，我们的目的是在热点之外停用狄氏条件。为此可以使用一个小窍门：输入 if(r < R,450[K],ht.Tvar) 作为指定值，就能获得所期望的停用（如下方动画所示）。

含条件限制的狄氏条件设置。

3.洛平条件

洛平条件通常都会影响刚度矩阵和方程右侧。虽然刚度矩阵的结构不会受到影响，但现有位置上会添加值。在方程视图 中，洛平条件同样显示为弱贡献。将这类条件转换为关于时间、空间和其他变量的函数，这与使用纽曼条件时的做法一致。

不过有趣的是，选择合适的值确实可以转换洛平条件，使之近似为狄氏条件或纽曼条件。如果仿真期间你希望在这两类边界条件之间切换，那么这一点十分重要。

要创建狄氏条件，需要对“刚度”指派一个高值，例如弹簧常数或传热系数。在数学术语中，这实质上是狄氏条件的罚 实现。刚度越高，自由度的指定值就越精确。但这里需要注意：刚度过高会影响刚度矩阵的数值稳定性。而在传热问题中，要选择“高”的传热系数 即可以在其他物理场实现相同的计算。将因子设为 1000 只是一个建议，可以替换成 104 或 105。

如果要使用对流模拟上一个示例中移动温度为 450 K 的热点，则可以采用下图中的设置。单元尺寸的内置变量 h 就应用到了表达式中。

4.解对边界条件的依赖性

要将解包含入边界条件有多种方法。这样做往往会引入非线性，COMSOL Multiphysics 可以自动检测到这样的非线性。

我们以一个梁为例，梁的稍下方有一个支撑，其作用是在梁发生一定挠曲后阻止梁的进一步移动。在梁 接口的指定位移/旋转 节点中，设置一个含条件限制的狄氏条件可以实现这一模拟。

具有挠曲、控制支撑和分布载荷的梁。